Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве)

Пусть $l: Ax + By + C = 0,~~ l \subset \sigma,~~ M(x', y') \in \sigma$, система координат прямоугольная декартова. Тогда расстояние $d$ от $M$ до $l$ равно: $$d = \dfrac{|Ax' + By' + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$$

Возьмём $M_{0}(x_{0}, y_{0}) \in l$: !distance_plane.png Так как система прямоугольная декартова, $\vec{n} = \begin{pmatrix}A \\ B\end{pmatrix}, \vec{n} \perp l$. Поэтому $d$ равно модулю проекции $\overrightarrow{M_{0}M}$ на ось вектора $\vec{n}$, отсюда: $$d = |\text{пр}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_{0}M}| = \left|\dfrac{\vec{n}\overrightarrow{M_{0}M}}{|\vec{n}|}\right| = \dfrac{|A(x'-x_{0}) + B(y' - y_{0})|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$ Так как $M_{0} \in l \Rightarrow Ax_{0} + By_{0} + C = 0$: $$d = \dfrac{|Ax' + By' + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} ~~~~~\square$$

Пусть $M(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ - произвольная точка пространства и: $$l: \begin{cases} x = x_{0} + qt \\ y = y_{0} + rt \\ z = z_{0} + st \end{cases}~~~~~~~ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in l,~~~ \vec{a} := \begin{pmatrix} q \\ r \\ s \end{pmatrix}, ~~~ \vec{c}:=\overrightarrow{M_{0}M}$$ Тогда расстояние от $M$ до $l$ равно: $$d(M, l) = \dfrac{|\vec{a} \times \vec{c}|}{|\vec{a}|}$$

!distance_space.png Ясно, что $d(M,l)$ - высота параллелограмма, построенного на $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Обозначим его площадь через $S$. Вспоминая геометрический смысл произведения векторов, получаем: $$d(M,l) = \dfrac{S}{|\vec{a}|} = \dfrac{|\vec{a} \times \vec{c}|}{|\vec{a}|} ~~~\square$$